Playing with Infinity

This is a introduction to mathematics for non-mathematicians, and therefore only enjoyable to people who don't know math or who really know math. Pretty good overall; the bit on calculus was a bit tedious, but she warned that it might be and advised people to just skip it if they found it to be so. Of course, the bit on logic was highly annoying since she essentially treated constructive logic like a heretic sect of a well established religion. But yes, enjoyable and worth the $7.95 it cost (I love Dover!).

An excellent introduction to advanced math.

Très bel essai. Pour qui s'intéresse un peu aux mathématiques ou qui souhaite les aborder en oubliant les années de sueurs et de souffrances sur les bancs de l'école et du lycée, ce livre est pour vous ! Une approche intelligente, brillante et simple des mathématiques. Certes certain concepts abordés demeurent difficiles et demandent un peu d'attention, mais au-delà de ces écueils le plus souvent nous découvrons que tout s'emboîte et s'explique avec la plus parfaite cohérence et avec des explications très simples et claires.
Je m'attendais pas à dévorer cet bouquin comme un roman. Captivé par ses démonstrations, tout en lisant je me disais quel dommage que je n'ai pas eu une telle prof de maths !

"L'homme pour sa propre show more commodité, a créé la suite des nombres naturels, qui permet de compter les objets et de faire un certain nombre d'opérations. Seulement , bien que l'ayant créé, l'homme n'a pas la maîtrise de cette suite : elle possède désormais ses propres règles, que l'homme n'avait pas prévues" (page 41 - Ed Points)
"La formule exprime avant tout notre satisfaction de voir toute cette diversité ramenée à une unité" pge (53 - Ed Points) show less

La prima cosa da sapere su questo libro è che Péter è il cognome di una matematica ungherese del '900, che oltre ai suoi lavori accademici scrisse questo testo di introduzione ai temi matematici che ebbe un grande successo in tutto il mondo, con traduzioni in svariate lingue tra cui per l'appunto l'italiano. Onestamente ho trovato l'approccio seguito un po' pesante per i miei gusti, un po' per la traduzione di un allora giovane Giulio Giorello che seguiva chiaramente lo stile dell'epoca, ma soprattutto perché il testo mi ha dato l'idea di sfruttare sempre casi particolari per giungere a una generalizzazione che però non ha un vero fondamento. La cosa si vede molto bene nella parte iniziale, dove si comincia con le operazioni show more elementari: certo che andando avanti fino ai teoremi di indeterminazione di Gödel e all'induzione transfinita di Gentzen (sì, Péter arriva sin là, cosa che negli anni '50 del secolo scorso non era per nulla scontata) le cose migliorano. Ho qualche dubio sull'approccio che dai disegnini discreti porta allo studio delle curve, ma lì il problema potrebbe essere mio.
Un'ultima nota. Io ho letto la prima edizione italiana del libro, pubblicata da Feltrinelli nel 1973, e nella quale c'erano alcuni errori nel testo (anche stupidi, come scrivere 2/6 e 2/10 anziché 6/2 e 10/2). Per curiosità ho dato un'occhiata alle versione attuale, edita nel 2010 da Rizzoli, e almeno quell'errore è rimasto intatto. Ci deve essere stata una grande fiducia nella traduzione originale, insomma! show less

Indeholder "Forord", "Forord til den danske udgave", "Indledning", "Første del: Troldmandens lærling", " 1. Fingerlegen", " 2. Regningsarternes feberkurver", " 3. Udstykningen af den uendelige talrække", " 4. Troldmandens lærling", " 5. Variationer over et grundtema - Efterskrift om geometri uden mål", " 6. Forsøg med alle muligheder", " 7. De grå tal får farve", " 8. 'Jeg har tænkt på et tal'", "Anden del: Den skabende form", " 9. Tal som løber fra hinanden", " 10. Ubegrænset tæthed", " 11. Vi får igen tag i det uendelige", " 12. Vi fylder tallinien", " 13. Feberkurverne bliver mere plane", " 14. Der findes kun én matematik - Efterskrift om bølger og skygger", " 15. Komma-elementer", " 16. Værkstedshemmeligheder", " show more 17. Mange bække små gør en stor å", "Tredje del: Selvkritik af den rene fornuft", " 18. Og alligevel finder der mange matematiske verdner - Efterskrift om den fjerde dimension", " 19. Bygningen vakler", " 20. Formen frigør sig", " 21. For metamatematikkens domstol - Efterskrift om til uendeligheden projicerede forestillinger", " 22. Hvad matematikken ikke kan", "Efter brugen".

"Forord" fortæller at bogen er målrettet kunstnere og andre matematisk uinteresserede intellektuelle. Dette forord er fra 1943.

"Efter brugen" handler om hvilke emner de forskellige kapitler tager op.
Indeholder "1.1 Addition, multiplikation, potensopløftning.", "1.2 Kubens rumfang. Grafisk fremstilling af funktioner.", "1.3 Talsystemet. Delelighedsregler.", "1.4 Aritmetisk række. Kvadratets og trekantens areal.", "1.5 Diagonaler i konvekse polygoner. To-leddede kombinationer. Formlen. Efterskrift: Topologi. Kongruens og ligedannethed. Regelbundne legemer.", "1.6 Kombinatorik. Matematisk induktion. Kvadratet på summen af to led.", "1.7 Primtalsopløsning. Primtallenes fordeling. Primtalssætningen.", "1.8 Ligninger. Femtegradsligningens uløselighed. Galois teori.", "2.9 Negative tal. Vektorer. Permanensprincippet.", "2.10 Operationer med brøker. Overalt tætte mængder. De rationale tals mægtighed.", "2.11 Omformning af brøker til decimalform og omvendt. Uendelige rækker.", "2.12 Irrationale tal. Pythagoras' sætning. De reelle tals mægtighed.", "2.13 Logaritmetabeller. Udvidelse af potensbegrebet. Jævne kurver. Hyperblen. Division med 0.", "2.14 Det generelle funktionsbegreb. Analytisk geometri. Efterskrift: (a) Trigonometriske funktioner. Tilnærmelse af periodiske funktioner. (b) Projektiv geometri. Invarianter.", "2.15 Den rette linie i uendeligheden. Komplekse tal. Sammenhæng mellem trigonometriske funktioner og eksponentialfunktioner. Algebraens fundamentalsætning. Funktioners potensrækkeudvikling.", "2.16 Tangentens retning. Differentialkvotienten. Maksimum og minimum.", "2.17 Ubestemt og bestemt integral. Arealberegning.", "3.18 Cirklens kvadratur. Transcendente tal. Euklids aksiomsystem. Hyperbolsk geometri. Forskellige geometrier. Efterskrift om den fjerde dimension.", "3.19 Gruppeteori. Mængdeteori. Antinomier. Intuitionismen.", "3.20 Symbolsk logik.", "3.21 Bevisteori. Metamatematik. Bevis for talteoriens modsigelsesfrihed. Kontinuumssætningen. Efterskrift om Analysens aksiomatisering.", "3.22 Ikke afgjorte og med givne midler uløselige problemer. Spørgsmålene om de såkaldte uløselige problemer.".

Bogen er beregnet for lægmænd indenfor matematikken og behandler talteori, differentialregning og logik. Jeg tror jeg har læst den som stor knægt, der ransagede hylderne på det lokale bibliotek for alt under 51.x.
Den introducerer ganske avancerede begreber i matematik og forsøger at forklare dem med ord. Mit indtryk her mange år efter første læsning er at det ikke lykkes så godt. Jeg forstår fint alle forklaringerne, men jeg tror at det er fordi jeg har forstået alle begreberne først.
Der er til sidst en smuk gennemgang af Gödels ideer og hvordan man former udsagnet "dette udsagn kan ikke bevises" vha tal. Oversættelsen er dog ikke specielt god, så måske skulle man finde den på engelsk i stedet?

Rózsa Péter lagde fundamentet for teorien om rekursive funktioner, der jo er ret interessante i datalogisk sammenhæng, så hun regnes for en af datalogiens mødre. Hun udforskede forskellige varianter af rekursive funktioner og simplificerede noget af Wilhelm Ackermann, så Ackermann funktionen kaldes også Ackermann-Péter funktionen, fordi hun gav den sin nuværende formulering. show less