Umberto Bottazzini

C'è sempre un prima e un dopo per una scoperta matematica

Gli "istanti fatali" che danno il titolo a questo libro sono i momenti in cui un matematico ha avuto una nuova idea che prenderà poi vita e sarà feconda. In realtà è rarissimo che si conosca il momento esatto: l'unico esempio che mi viene in mente è quello di Hamilton con i quaternioni. Ma come spiega Bottazzini nell'introduzione, quello che conta è che c'è un prima e un dopo. E nel libro si raccontano appunto il prima e il show more dopo delle persone: non dovete insomma aspettarvi chissà quale astrusa matematica, ma leggerete le storie di quei matematici. Menzione speciale per i disegni di Grisha Fischer: sono stupendi. show less

Quando ho comprato questo libro avevo qualche timore. Non certo sulle competenze di Bottazzini, figuriamoci: quanto per il fatto che altri suoi libri, come la sua Storia della matematica, erano piuttosto pesanti da leggere. Per fortuna i miei dubbi si sono rapidamente fugati. Innanzitutto la trattazione, più che storica, è filosofica, e soprattutto non segue gli schemi classici. Certo, un capitolo su Zenone non può mancare, come non manca quello su Cavalieri e gli indivisibili (che segue show more le linee di Aczel); ma Bottazzini ha scelto un percorso forse più lontano dalla matematica pura, con autori e citazioni che mi erano completamente sconosciute. Carina l'idea di partire in medias re con la gara indetta dall'accademia di Berlino per spiegare la metafisica dell'infinito, gara che più avanti nel testo scopriamo essere stata vinta da un carneade svizzero mai sentito. L'unica parte dove ci sono un po' di formule matematiche è quella che mostra perché Cantor si fosse interessato ai numeri transfiniti, anch'essa relativamente meno nota delle sue costruzioni. In definitiva, un libro consigliato non solo ai matematici, ma anche ai curiosi che vogliono capire come nascono i concetti matematici. show less

(ok, forse il vero titolo è a²+b²=c², ma lasciamo quell'altro) Stavolta Bottazzini non mi è piaciuto molto. In questo libretto si parla del teorema di Pitagora e di un po' di cose che gli fanno contorno. Però le prime cinquanta pagine, dove si parla più o meno di quello che NON sappiamo sul filosofo di Samo, sono francamente inutili. Più interessante la parte successiva, dove per esempio scopriamo da dove deriva la dimostrazione di Garfield (non il gatto dei fumetti, ma il presidente show more USA) e un accenno alla distanza pitagorica come funzionante nel caso di infinitesimi anche nelle varietà riemanniane, pur senza entrare nello specifico per ovvie ragioni legate al target. Però per esempio mi sarei aspettato anche qualcosa sul teorema del coseno che in fin dei conti è una generalizzazione. In definitiva, non un libro imprescindibile. show less

Me lo immaginavo più concettuale (che cosa è il numero?) e più sistematico (quali sono e come si definiscono le diverse specie di numeri?). Invece questo saggio ha una struttura che è un misto di cronologico e tematico, e mescola descrizioni di proprietà e problemi relativi ai numeri con pezzi di racconto storico.

Il primo capitolo mostra che alcune specie animali, e anche gli infanti umani, sembrano avere la capacità innata di contare a un livello elementare ("un senso primordiale show more della numerosità"), anche se solo noi umani abbiamo la capacità di astrazione "che genera la successione infinita dei numeri naturali" e poi tutte le altre specie di numeri. Il secondo capitolo parla della rappresentazione dei numeri, principalmente in alcune civiltà antiche (egizi babilonesi maya); il terzo e il quarto passano allo studio delle proprietà dei numeri naturali e delle proporzioni, che portò alla scoperta dell'incommensurabile, e qui siamo in compagnia soprattutto degli antichi greci, con qualche puntata fuori d'Europa e a matematici dell'età moderna che si occuparono di problemi sui numeri interi. Con il quinto si parla del sistema di numerazione indiano (le "figure degli Indi") e della comparsa di un simbolo per lo zero, tra India Cina e arabi, e di come ciò giunse in Europa con Fibonacci, di abacisti e mercanti e resistenze religiose, e si accenna a sistemi in base diversa da zero, tra Leibniz e matematici della Francia rivoluzionaria. Con il sesto si introducono i negativi e gli immaginari: "falsi", "assurdi", "sofistici", come apparvero agli algebristi del cinquecento che li scoprirono, fino alla loro definitiva accettazione nell'ottocento con Gauss, e alla loro estensione con i quaternioni di Hamilton. Nel settimo si tratta di numeri reali e della loro ardua definizione, di numeri algebrici e trascendenti, di densità e continuità, di numeri e insiemi transfiniti; qui siamo nell'ottocento e i protagonisti sono soprattutto Dedekind e Cantor (con Kronecker che fa il guastafeste).

E nell'ottavo e ultimo si giunge alla domanda esistenziale: che cosa sono i numeri? È a fine ottocento che logici e matematici iniziarono a porsela seriamente, e qui si riferiscono in breve alcune delle loro risposte: estensioni di concetti? creazioni del pensiero? «cose intuitivamente chiare»?... Si parla di Frege, Dedekind, Peano, Hilbert, Brouwer, tra intuizionisti, logicisti, hilbertiani, delle loro elaborazioni sottili e profonde, fino a Gödel che con il suo teorema mostra i limiti dell'approccio assiomatico. E allora, da dove ci vengono i numeri? Non è chiaro, ma quel "senso primordiale della numerosità" che possediamo in modo innato deve aver a che fare con la capacità di comprendere qualcosa del mondo circostante e di sopravviverci. E infine si cita un'ipotesi: quel senso naturale di numerosità sembra essere continuo e approssimativo, ma noi formuliamo e comunichiamo i concetti per mezzo della lingua, che è discreta e ricorsiva, e da qui verrebbe la "naturalità" dei numeri interi, il loro presentarsi per primi alla mente umana, e il fatto che è da essi che abbiamo derivato tutte le altre specie di numeri. Tutta la matematica sembra matematica umana, cioè basata sul cervello e sulla mente umani, mentre "la credenza nell'esistenza di una matematica platonica che trascende i corpi e le menti umane e struttura il nostro universo" sembra infondata.

Nel complesso il saggio offre un percorso sommario, ma ben strutturato, vivace e di lettura piacevole, attraverso la storia della matematica, seguendo il tema del numero, tra numerosi personaggi (non solo matematici), abbondanti citazioni, e incroci con altri argomenti ardui come l'infinito e la continuità. I concetti di cui si parla sono dati per noti, e per seguirlo bene occorrono conoscenze matematiche tutt'altro che elementari (anzi, per alcune parti, di livello universitario). Forse può essere utile soprattutto a chi ha buone conoscenze matematiche e desidera un po' di contesto storico, o a chi quel contesto lo conosce ma vuole rinfrescare la memoria. show less